Tja, das ist tatsächlich nicht so einfach. Normalerweise ist im Mainboard die Seriennummer hinterlegt und man kann die auch nicht so einfach setzen. Evtl. wurde bei Dir mal das Mainboard getauscht? Dann hat der Techniker im Anschluss an den tausch vergessen, die Seriennummer in das Mainboard zu programmieren.
Bisher war das mehr oder weniger egal, aber ab El Capitan wird bei der Anmeldung an irgendwelche Appledienste auch die Seriennummer des Gerätes mit einer Liste bei Apple verglichen, damit sich nur berechtigte Geräte dort anmelden können. D.h. fehlt aufgrund eines Fehlers die Seriennummer oder ist diese bei Apple in der Datenbank nicht hinterlegt, funktioniert die Anmeldung mit der Apple-ID nicht. Das müsste auch entsprechend im Log vermerkt sein.
Tja, was kann man tun...
Wenn Du einen Mac von vor 2013 hast, dann kannst Du es selber probieren nach dieser
Anleitung und Software. Das ist aber nicht ganz risikolos und ob es wirklich funktioniert, ist nicht unbedingt sicher.
Bei Macs ab 2013 kannst Du selber gar nichts machen.
In beiden Fällen ist am sichersten, wenn Du damit zum Apple Support gehst und die Dir die Seriennummer eintragen. Die haben dafür die notwendige Software und die wissen, wie es geht.