Ist gesetzlich nicht geregelt.
Die Gerichte sind mit der Frage massiv beschäftigt.
Es stellen sich sogar zwei Fragen:
Nutzung des Betriebs-Internets: Kann man an sich total verbieten, wenn nicht vertraglich geregelt gilt Usus. Schnell handeln ist nötig, hat sich das mal eingebürgert, wird's arbeitsrechtlich schwierig.
Und dann Surfen z.B. übers Handynetz: Ab wann sind hier Pflichten verletzt? Das wird im Einzelfall zu regeln sein. Solange er/sie seine Arbeit erledigt, ist das ebenfalls arbeitsrechtlich schwierig, sogar sehr. Also facebook an sich kann man nicht verbieten obwohl man es sollte.
Solange natürlich keine Betriebs-Interna gepostet werden oder der Chef verunglimpft. Wobei selbst das ja manchmal Richter durchgehen lassen… hoffentlich weiß das Dein Azubi nicht.